C++魔法代码学院：第 5 课——特殊的余数（取模运算）

—— 寻找被除法丢弃的宝藏

• 课时时长：90 分钟

• 核心目标：

  1. 理解 取模 % 就是求余数。

  2. 掌握 % 的两大核心用途：

     • 周期侦探：判断奇偶（% 2）、星期计算（% 7）。
     • 数字手术刀：提取数字的个位（% 10）。

  3. 难点攻克：综合运用 / 和 % 进行多位数的数位分离（GESP 必考）。

• 所需教具：10 个苹果（或糖果），3 个盘子。

课程时间表

详细教学流程

1. 复习：除法之刀 (10 min)

• 提问：cout << 10 / 3; 输出几？（答案：3）。
• 追问：我们在数学课上算出 。上节课我们说 C++ 的除法很无情，把余数 1 扔进了垃圾桶。
• 引入：今天我们要去垃圾桶里，把这个被丢掉的 1 捡回来！因为它是开启宝箱的钥匙。

2. 概念：分苹果与百分号 (15 min)

• 符号介绍：

  • 它的名字叫 “取模” (Mod)，符号是 %。
  • 注意：虽然它长得像百分号，但在代码里它跟 100% 没有任何关系！它是“求余数”的意思。

• 实物演示：分苹果

  • 拿出 10 个苹果，请 3 位同学上来。
  • 规则：必须平均分，不能切开。
  • 过程：每人拿 1 个...每人拿 2 个...每人拿 3 个。
  • 现状：手里还剩 1 个。分不下去了。
  • 结论：
    • 10 / 3 的结果是 3 （每人手里的）。
    • 10 % 3 的结果是 1 （老师手里剩下的）。

• 代码体验：

  cout << 10 % 3 << endl; // 输出 1
  cout << 5 % 2 << endl;  // 输出 1
  cout << 4 % 2 << endl;  // 输出 0 （没有余数就是 0）
  

3. 应用 A：周期侦探 (15 min)

• 侦探任务 1：奇数还是偶数？

  • 规则：任何整数，只要被 2 除，余数只有两种情况。

    • 余数是 0 -> 偶数（双数）。
    • 余数是 1 -> 奇数（单数）。

  • 代码口诀：n % 2 是判断奇偶的照妖镜。

• 侦探任务 2：今天是星期几？

  • 提问：如果今天是星期三，过了 7 天是星期几？（还是星期三）。
  • 原理：世界是转圈圈的，每 7 天转一圈。

  • 计算：

    • 过了 10 天是星期几？
    • \(10 \div 7 = 1\) 圈 ... 余 3 天。
    • 所以是星期三 + 3天 = 星期六。

  • 代码：future_day = (today + days) % 7; （注：此处简单带过逻辑即可，不需深究代码细节）。

4. 核心：数字手术刀——数位分离 (25 min) <-- GESP 必考重难点

• 任务：输入一个三位数 123，我们要把 1, 2, 3 分别拆出来存到变量里。
• 难点：电脑不认识“个位”，它只认识数字。

• 工具介绍：

  • 工具 A：% 10 (取尾刀) —— 专门切下最后一位。
  • 工具 B：/ 10 (砍头刀) —— 专门砍掉最后一位。

• 手术步骤（板书演示 123）：

  1. 取个位：

     • 用 % 10。
     • 123 % 10 = 3 (余数就是个位)。
     • 口诀：模 10 得到小尾巴。

  2. 准备取十位（先砍一刀）：

     • 3 已经被取走了，我们想把 123 变成 12。
     • 用 / 10。
     • 123 / 10 = 12 (整数除法，3 被砍掉了)。

  3. 取十位（也就是现在的个位）：

     • 对着剩下的 12 再用 % 10。
     • 12 % 10 = 2。

  4. 取百位：

     • 再砍一刀：12 / 10 = 1。
     • 1 % 10 = 1 (或者直接用剩下的 1)。

5. 实战：倒序输出器 (15 min)

• 题目：输入一个三位数（如 582），请输出 285。

• 代码带练：

  int n;
  cout << "请输入一个三位数: ";
  cin >> n; // 假设输入 582
  
  int g = n % 10;         // 个位：582 % 10 = 2
  int s = (n / 10) % 10;  // 十位：582 / 10 = 58;  58 % 10 = 8
  int b = n / 100;        // 百位：582 / 100 = 5
  
  // 输出
  cout << g << " " << s << " " << b << endl; 
  

• 注意：中间的 s 最难理解，可以拆成两步写：int temp = n / 10; int s = temp % 10;。

6. 总结与技巧 (10 min)

• 知识点回顾：

  • % 是求余数。
  • % 2 用来分奇偶。
  • % 10 用来拿个位。
  • / 10 用来丢个位。

• 避坑：

  • 小数不能取模！3.5 % 2 会报错。% 只能用于整数。
  • 不要对 0 取模（n % 0），虽然数学上没意义，代码里会报错。

课后作业：密码破解员

1. 基础题：

   • 输入一个整数，输出它除以 5 的余数。

2. 核心题（数位求和）：

   • 输入一个三位数（例如 123）。
   • 计算各位数字之和（1 + 2 + 3 = 6）。
   • 输出这个和。

3. 挑战题（倒序数字算术）：

   • 输入 123。
   • 让电脑通过计算生成一个新的数字 321 （注意：不是打印三个字符，而是生成一个整数变量）。
   • 提示：个位 * 100 + 十位 * 10 + 百位。

给教练的教学话术建议

• 关于 % 的读法：建议直接读“模”（mó），或者通俗点读“求余”。不要读“百分号”，以免和格式化输出混淆。

• 关于数位分离：这是 3-5 年级孩子遇到的第一个逻辑门槛。建议用积木或乐高演示：

  • 123 是三块积木连在一起。
  • / 10 是把最后一块掰掉扔垃圾桶。
  • % 10 是只把最后一块拿在手里看一看，主体还在。

• 互动游戏：报数游戏。全班从 1 开始报数，遇到 7 的倍数或者个位是 7 的数（n % 7 == 0 或 n % 10 == 7）就拍手。这是 GESP 经典的“逢七过”逻辑，虽然还没学 if，但可以先建立这种数学直觉。